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Função Exponencial

Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R₊^* tal que ƒ(x)= a^x em que a ∈ R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o ^x de expoente.

A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Propriedades da Função Exponencial

Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que a^x=a^t↔ x = t;
A função exponencial ƒ(x)=a^x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
A função exponencial ƒ(x)=a^x é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=a^x com a ∈ R₊^* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como e^x (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

Aqui, $n!$ corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
O valor de $e^1$ é aproximadamente $2{.}718281828$
Se x é real, então e^x é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

$a^x = e^{x \ln a}$

Para todo a > 0 e $x \in \mathbb{R}$ .
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

$a^0 = 1$

$a^1 = a$

$a^{x + y} = a^x a^y$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

${1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$a^x b^x = (a b)^x$

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

${1 \over a} = a^{-1}$

$\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}$ Gostou ?Quer continuar aprendendo ? Então clique no Link Abaixo:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial

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domingo, 7 de outubro de 2012

Está com dificuldade para aprender Função Exponencial ? O SuperGênio te ajuda !

Função Exponencial

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